Sayıların Kanunu ve Denetim Mesleğine Katkısı
Emrah AYGÜL
Yeminli Mali Müşavir
Bağımsız Denetçi
emrah.aygul@erisymm.com
İnsanoğlu evrenin sırlarını çözdükçe hayrete düşmekte, hayret verici mükemmellik insanoğluna bir yaratıcının varlığını işaret etmektedir. Bu sebeple semavi dinler (İslamiyet, Hristiyanlık, Musevilik), kâinata yaratıcıyı anlatan bir kitap gözü ile bakmaktadırlar. Örneğin bu durum Kuran-ı Kerim’de Bakara Suresi 164’de mealen şu şekilde açıklanmıştır: “ Kuşkusuz, göklerin ve yerin yaratılışında, gece ve gündüzün değişmesinde, insanlara fayda veren yüklerle denizde seyreden gemilerde, Allah’ın gökten indirerek onunla ölü haldeki toprağa can verdiği ve orada her çeşit canlının yetişmesini sağladığı yağmurda, rüzgârları ve gökle yer arasında emre hazır bekleyen bulutları evirip çevirip yönlendirmesinde aklını işleten bir topluluk için elbette nice deliller vardır.” Diyanetin tefsirinde açıkladığı üzere “… kâinat kitabı Allah’ı kanıtlayan âyetlerle doludur; fakat bu âyetleri ancak aklını kullananlar görüp anlarlar.”
Teknolojik gelişmeleri sağlayacak doğa kanunları, materyaller ve alt yapının varlığı olmadan teknolojinin gelişmeyeceği, insanoğlunun ileri gidemeyeceği malumdur. İnsanoğlu sadece bunların varlığını keşfetmekte ve yaşamlarına dahil etmektedirler. Bir uçak, bir mobil telefon …, eğer bunların oluşumuna imkan verecek alt yapı Dünyanın yaratılışında öngörülmeseydi, üretilmeleri de mümkün olamayacaktı. Demek ki evrenin dizaynı insanoğlunun öngörülen gelişimine göre yaratılmıştır diyebiliriz.
Var olan sırlardan biri de sayılarla ilgilidir. Denetim mesleğini de etkileyen ve çözülen bu sır yazımızın konusudur.
Evrendeki sayıların oluşumunda tesadüf olmadığı, dünyanın eğimi- aya, güneşe uzaklığı vb., sayıların hikmeti ile anlaşılmaktadır. Sayılar ile ilgili birçok Kanun söz konusudur. Örneğin madeni parayı havaya atıp tuttuğunuzda üst yüzeyin yazı ya da tura gelmesi ihtimali %50’dir. Ancak bunu 10 sefer denerseniz belki de sonuçlar bu ihtimali teyit etmeyecektir. Deneme sayısını arttırdığınızda ise bu kuralın gerçekliği teyit edilecektir. Bu durum “Büyük Sayılar Kanunu (Law of Large Numbers)”[1] olarak ifade edilmektedir. Ancak yazımızın konusu “Büyük Sayılar Kanunu” değil.
Bahsedeceğimiz Sayıların Kanunu için biraz geçmişe gideceğiz.
17. Yüzyıl başı, İskoçya, elektronik hesap makinaları yok ve bu yüzyılın başından itibaren logaritma tablolarını içeren kitaplar[2] çok basamaklı sayıların çarpım işlemlerini[3] kolaylaştırmak ve hızlandırmak için kullanılmaya başlanmıştır. 1881 yılına gelindiğinde American Journal of Mathematics dergisinde Simon Newcomb’un “Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers” isimli makalesi yayımlanır.[4] Makalenin ilham noktası logaritma tablolarının ilk sayfalarının sonraki sayfalara göre daha hızlı aşındığı diğer bir deyişle kullanıldığı gözlemidir. Bunun sonucu olarak makalede rakamların (0’dan 9’a kadar) doğal sayılarda kullanımlarının sıklığı sorgulanır.
Newcomb’un makalesine göre herhangi bir sayının ilk basamağındaki rakam %30,1 oranla 1, %17,6 oranla 2, %12,5 oranla 3’tür. Bu oran 9 sayısına ulaşıncaya kadar %4,6’ya kadar düşmektedir.
Newcomb kısaca şunu iddia etmektedir. Çok basamaklı sayılarda bir kural var. Bu kural ilk basamakların %30,1 oranla 1, %17,6 oranla 2, %12,5 oranla 3…. olduğudur.
Newcomb’un, makalesi yeterince önemsenmemiş zamanla unutulmuştur. Aradan 57 yıl geçtikten sonra 1937 yılında, General Elektrik fizikçilerinden Frank Benford “The Law of Anomalous Numbers” isimli makalesini yayımlamıştır.[5] Yazarın Newcomb’un makalesinden haberi olup olmadığı konusunda netlik bulunmamaktadır. Makalede 20.229 sayı incelemiş, bu sayıların ilk basamağındaki 1’den 9’a kadarki rakamların dağılımı (görülme sıklığını) altı yılı aşan bir süreçte tespit edilmiştir. Sonuçlar Newcomb’un sonuçlarını teyit etmektedir.
Benford’un gözlemlerine göre ilk basamak için rakamların ortaya çıkış sıklıkları:
| İlk Rakam İçin | ||||||||||
| Açıklama | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Örnek Sayısı |
| Nehir alanları | 31.0 | 16.4 | 10.7 | 11.3 | 7.2 | 8.6 | 5.5 | 4.2 | 5.1 | 335 |
| Nüfus | 33.9 | 20.4 | 14.2 | 8.1 | 7.2 | 6.2 | 4.1 | 3.7 | 2.2 | 3259 |
| Gazete tirajları | 30.0 | 18.0 | 12.0 | 10.0 | 8.0 | 6.0 | 6.0 | 5.0 | 5.0 | 100 |
| Belirli sıcaklıklar | 24.0 | 18.4 | 16.2 | 14.6 | 10.6 | 4.1 | 3.2 | 4.8 | 4.1 | 1389 |
| ……. | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| Ortalama | 30.6 | 18.5 | 12.4 | 9.4 | 8.0 | 6.4 | 5.1 | 4.9 | 4.7 | 1011 |
| Muhtemel Hata | ± 0.8 | ± 0.4 | ± 0.4 | ± 0.3 | ± 0.2 | ± 0.2 | ± 0.2 | ± 0.3 | ||
Benford’un hesaplamalarına göre ilk basamak için rakamların ortaya çıkış sıklıkları şu şekilde açıklanmıştır.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| Birinci Basamak için (%) | 30.1 | 17,6 | 12,5 | 9,7 | 7,9 | 6,7 | 5,8 | 5,1 | 4,6 |
Benford, makalesinde herhangi bir sayının ikinci basamağı için rakamların ortaya çıkış sıklıkları ise şu şekilde açıklamıştır.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| İkinci Basamak için (%) | 12 | 11,4 | 10,8 | 10,4 | 10 | 9,7 | 9,3 | 9,0 | 8,8 | 8,5 |
“Benford Kanunu” olarak literatürde yer alan bu olgu, çok basamaklı sayı kümelerinin oluşumunun doğal olması halinde, basamaklarda gözüken rakamların yüzdesel dağılımlarına ilişkin bir kuralın var olduğunu göstermektedir. Dolayısıyla bu Kanun, doğadaki sayıların oluşumuna ilişkin kuralı açıklamaktadır. Doğal oluşmayan (hata, hile ve manipülasyon içeren) bir sayı bu kuralın dışına çıkacaktır. Birçok çalışma Benford Kanununu, doğal dağılımdan sapmayı esas alarak hata, hile ve manipülasyondan kaynaklı anormallikleri saptamada kullanmaktadır. Bu çalışmalar hem “Benford Kanunu” olarak nitelendirilen bu sayıların oluşum kuralını teyit etmiş hem de bu kurala katkı sağlamıştır.
Ancak Benford Kanununun uygulanması için dağılımın ortaya çıkmasına izin verecek ölçüde geniş bir veri kümesi olmalı, veri kümesi rasgele sayılardan oluşmamalı, en az 4 haneli olmalı, veri kümesinde asgari ve azami sınırlar bulunmamalı, veriler birimlerle ifade edilebilir olmalıdır. Diğer bir deyişle Benford Kanunu, “Büyük Sayılar Kanunu (Law of Large Numbers)” ile birlikte anlam ifade edeceği söylenebilir.
Benford Kanunu, sayıların oluşumunun dahi bir kanun çerçevesinde olduğunu logaritmik fonksiyonla ispat etmiştir. Finansal dünyadaki hemen her şey sayı ile ifade edilmekte olduğundan sayılar finans dünyası için çok önemlidir. Yukarıda belirtildiği üzere insanoğlunun manipilasyon, hile vb. şekilde sayılara müdahale ettiği durumlarda sayıların yapısı, Benford Kanununda belirlenen yapıdan sapacağından, bu sapma hile ve manipülasyonun tespitinde de kullanılmaktadır. Nitekim Benford Kanunu, Kansas Üniversitesinde çalışan Mark Nigrini’nin de ilgisini çeker. Nigrini, üzerinde bir yıl kadar çalıştığı bu Kanunu 1992 yılında doktora tezi olarak sunar. Bu tezinde Nigrini, Benford Kanununun benzetimine dayalı bir kullanım önermiş ve satışlardan giderlere kadar muhasebenin bir çok alanındaki verilerin Benford Kanununu izlediğini ve bu alanlarda Kanundan sapmaların standart istatistiksel testlerin kullanılmasıyla hızlı bir biçimde ortaya çıkarılabileceğini belirtmiştir. Daha sonra bu çalışmasını bir program haline getiren Nigrini özellikle vergi kaçakçılığını önlemek üzerinde durmuştur. Bu konuda kendisinden yardım isteyen Brooklyn Hileler Servisi’nde bir çalışma yapılmış ve bunun sonucunda New York’lu 7 şirkette muhasebe hileleri ortaya çıkarılmıştır.[6]
Yine Benford Kanunu kullanılarak bir hisse senedi piyasasında, işletmelerin sunduğu raporlardaki gelir tutarlarının güvenilirliğinin test edilmesi ve bu suretle gelir tutarlarına ne kadar güvenilebileceği sorusunun piyasa için genel olarak cevaplandırılması mümkün görülmüş, İMKB (BİST) için de böyle bir çalışma yapılmış olup, 50 şirket için 5 yıllık (1991 Ocak-1995 Aralık dönemi) verilerin kullanılması suretiyle açıklanan gelir tutarlarının ilk iki hanesinde yer alan rakamların Benford Kanununa uyduğu saptanmıştır. [7]
Son olarak Vergi Denetim Kurulunun analiz yazılımlarında Benford Kanununun kullanıldığı bilinmektedir.
[1] Büyük sayılar yasası, bir olayın gözlem sayısının sonsuza yaklaştıkça gerçek ihtimallere daha çok yakınlaşacağımızı ifade eden istatistiksel bir tanımdır.
[2] Logaritma ilk defa 17. yüzyılın başlarında İskoçyalı John Napier tarafından bulunmuştur.
[3] Napier’in yöntemini kullanmak sadece çarpma işleminde kolaylık sağlamaz, benzer metotlar ile bölme işlemi çıkarmaya, karekök alma işlemi ikiye bölünmeye, kübünü alma işlemi 3 ile çarpmaya dönüşür. (https://www.matematiksel.org/napierin-kemiklerinden-logaritmaya-bir-yolculuk/)
[4] https://www.uvm.edu/pdodds/research/papers/others/1881/newcomb1881a.pdf
[5] https://www.jstor.org/stable/pdf/984802.pdf
[6] Elitaş, C. “Muhasebe Denetiminde Benford Kanunu” Vergi Sorunları Dergisi Sayı143, Sayfa146
[7] Al-Darayseh, Musa “Reliability in Income Numbers For Investment Decision : The Case of the Istanbul Stock Market” Managerial Finance, Volume:26 No:12 2000
